Gravitasi

Sir Isaac Newton yang terkenal dengan hukum-hukum Newton I, II dan III, juga terkenal dengan hukum Gravitasi Umum. Didasarkan pada partikel-partikel bermassa senantiasa mengadakan gaya tarik menarik sepanjang garis yang menghubungkannya, Newton merumuskan hukumnya tentang gravitasi umum yang menyatakan : Gaya antara dua partikel bermassa m

1

dan m

2

yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik menarik sepanjang garis yang menghubungkan kedua partikel tersebut, dan besarnya dapat dinyatakan dengan persamaan :

F = G

m 1 m

2 r

2

F = Gaya gravitasi, satuan : NEWTON. G = Konstanta gravitasi, besarnya :

G = 6,67 x 10-11

N m

2

kg

2

m = massa benda, satuan : kilogram r = jarak antara kedua partikel, satuan : m Gaya gravitasi adalah besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju pusat massa partikel.

Untuk gaya gravitasi yang disebabkan oleh beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya ditentukan secara geometris. Misalnya dua buah gaya F

1

dan F

2

yang membentuk sudut α resultante gayanya dapat ditentukan berdasarkan persamaan :

F = F 1

2

+ F 2

Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan) 2

+

2 F 1 F 2

cosα

Gambar :

LATIHAN SOAL 1. Dua buah benda masing-masing massanya 10 kg dan 20 kg terpisahkan pada jarak 2 m satu dengan yang

lain. Tentukan gaya gravitasi antara kedua benda itu. ( jawab : 3,34 x 10-9 N ) 2. Gaya tarik gravitasi antara dua buah benda bermassa adalah 2,001 x 10-10 N.

Bila massa benda adalah 3 kg dan 9kg. Tentukanlah jarak kedua benda itu. ( jawab 3 m ). 3. Massa sebesar 5 kg terpisah pada jarak 2 m dari massa yang lain. Gaya gravitasi antara kedua benda adalah

sebesar 2,5 x 10-10. Tentukan massa benda yang lain. ( jawab 3kg ) 4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 1kg, 2kg dan 3kg diletakkan pada titik sudut segitiga sama sisi

dengan sisi 1 m. Tentukanlah gaya yang dialami oleh bola bermassa 1 kg dalam susunan ini. ( jawab : 2,9 x 10-10 N ) 5. Dua bola bermassa masing-masing 4 kg terpisah pada jarak 2 3 m. Tentukanlah gaya tarik gravitasi yang

dialami oleh bola bermassa 5 kg yang terletak pada jarak 2 m dari kedua massa tersebut. (jawab 5 G N) 6. Sebuah bola bermassa 3 kg terletak pada titik pusat sistem sumbu koordinat. Bola lainnya yang masing- masing bermassa sebesar 16 kg, 36 kg dan 25 kg terletak pada titik-titik ( 4,0 ), ( 4,5 ) dan ( 0,5 ). Satuan koordinat dalam m. Tentukanlah gaya yang dialami oleh bola bermassa 3 kg itu. ( jawab : 6,8 GN ) 7. Dua massa masing-masing dari 2kg dan 8 kg terpisah sejauh 1,2 m. Tentukanlah gaya gravitasi pada massa

1 kg yang terletak pada suatu titik 0,4 m dari massa 2 kg dan 0,8 m dari massa 8 kg. ( jawab : 0 )

I

2

8. Dua bola bermassa 2 kg dan 12,5 kg terpisah pada jarak 7 m. Tentukanlah letak bola bermassa 6 kg

sehingga gaya tarik gravitasi yang dialaminya sama dengan nol. ( jawab : 2 m dari bola bermassa 2 kg ) 9. Dua buah benda bermassa pada saat terpisah sejauh 2 m saling mengerjakan gaya sebesar 4 g. Bila jarak

antaranya di jadikan 4 m, tentukanlah gaya tarik menarik yang dikerjakan kedua benda itu. 10. Di titik A dan C dari suatu bujur sangkar ABCD ditempatkan massa sebesar 1 kg dan 0,5 kg. Bila gaya tarik menarik antara kedua massa tersebut besarnya 0,5 G newton, tentukanlah panjang sisi bujur sangkar tersebut. ( jawab :

1 2

2

m )

MEDAN GRAVITASI

Kuat medan gravitasi ( intensitas gravitasi ) oleh gaya gravitasi didefinisikan sebagai : Perbandingan antara gaya gravitasi yang dikerjakan oleh medan dengan massa yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi tersebut. Dalam bentuk persamaan, dapat dinyatakan dengan :

g =

F m g = kuat medan gravitasi ; satuan : N.kg-1 F = Gaya gravitasi satuan : N m = Massa benda satuan : kg

KUAT MEDAN GRAVITASI OLEH BENDA BERMASSA. Kuat medan gravitasi dapat ditimbulkan oleh suatu benda bermassa. Misalkan dua buah benda bermassa masing-masing m dan m’ terpisah pada jarak r. Maka gaya gravitasi oleh kedua benda itu

adalah : F = G

m m ' r

2

Bila kita hitung kuat medan gravitasi yang dilami oleh massa m’ sebagai akibat dari gaya gravitasi di atas, maka di peroleh :

'

'

'

Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan)

mm

g =

m F

= G

g G

r

2 m

=

m r

2

Persamaan di atas menunjukkan kuat medan gravitasi oleh benda bermassa m pada suatu titik berjarak r dari benda itu. Kuat medan gravitasi adalah suatu besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju ke pusat benda yang menimbulkannya. Kuat medan gravitasi di suatu titik oleh beberapa benda bermassa diperoleh dengan menjumlahkan vektor-vektor medan gravitasi oleh tiap-tiap benda. Sebagai contoh : Kuat medan gravitasi yang disebabkan oleh kedua dua buah benda yang kuat medannya saling membentuk sudut α, dapat dinyatakan dengan persamaan :

g = g 1

2

+ g 2

2

+

2 g 1 g 2

cosα

LATIHAN SOAL 1. Suatu massa yang besarnya 2 kg berada pada suatu tempat dibawah pengaruh gaya gravitasi sebesar

5 x 10-10 N. Tentukanlah kuat medan gravitasi yang dialaminya. ( jawab : 2,5 x 10-10 ) 2. Tentukanlah kuat medan gravitasi pada suatu titik berjarak 2 m dari suatu massa sebesar 25 kg.

(Jawab : 6,25 GN/kg ) 3. Dua buah bola bermassa masing-masing 0,16 kg dan 0,32 kg terpisah pada jarak 2cm. Tentukanlah kuat

medan gravitasi pada suatu titik yang berjarak 2 cm dari kedua massa tersebut. ( jawab : 1,06 x 103 GN/kg ) 4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 16 kg, 36 kg dan 25 kg berturut-turut di titik-titik ( 4,0 ), ( 4,5 ) dan

( 0,5 ) . Satuan koordinat dalam m. Tentukanlah kuat medan gravitasi di titik pusat koordinat. ( jawab : 2,5 G N/kg )

3

5. Dua buah bola bermassa masing-masing besarnya 4 kg terpisah pada jarak 2 3

cm

. Tentukanlah kuat medan gravitasi pada suatu titik yang berjarak 2 cm dari kedua massa itu. ( jawab : G N/kg ) 6. Dua buah benda bermassa masing-masing 0,4 kg terpisah pada jarak 1,2 m satu dengan yang lain. Tentukanlah kuat medan gravitasi di suatu titik yang terletak 0,4 m dari massa 0,4 kg pertama dan 0,8 m dari massa 0,4 kg kedua. ( jawab : 1,25 GN/kg ) 7. Massa bulan ialah satu perdelapan puluh satu dari massa bumi dan jari-jarinya seperempat jari-jari bumi.

Tentukanlah perbandingan periode sebuah ayunan di permukaan bumi dengan permukaan bulan.

( jawab : 4 : 9 )

ENERGI POTENSIAL GRAVITASI

Benda bermassa m yang terletak di luar bumi, energi potensial gravitasinya pada jarak r dari pusat bumi, dinyatakan dengan persamaan :

Ep = - G

M .

m r Ep = Energi potensial gravitasi G = Konstanta gravitasi M = massa bumi m = massa benda r = Jarak pusat benda ke pusat bumi. Tanda negatif (-) berarti jika benda bergerak di bawah pengaruh gaya gravitasi dari jarak tak terhingga (∞) ke jarak r maka energi potensialnya akan berkurang, karena dipergunakan untuk menambah energi kinetik dengan makin besarnya laju benda waktu bergerak mendekati bumi. Jika mula-mula benda berada di tempat yang jauh tak hingga ( r = ∞ ) dengan energi kinetik sama dengan nol, maka dalam perjalanan mendekati bumi, medan gravitasi merubah energi potensial menjadi energi kinetik. Pada waktu sampai di bumi energi kinetik benda sama dengan energi potensial gravitasi. Jadi :

2 1

mv 2 =

G

M .

m R m = massa benda. M = massa bumi. R = jari - jari bumi. v = kecepatan benda di permukaan bumi. HUKUM KEKEKALAN ENERGI Hukum kekekalan energi mekanik total berlaku untuk medan gravitasi dan harganya adalah :

Emek = Ek + Ep

Emek = 1 2

mv 2 -

G

M .

m R Kita dapat mendefinisikan energi potensial sebagai berikut : Jika Ep(A)= energi potensial di titik A dan Ep(B) : energi potensial di titik B, maka beda energi potensialnya :

Ep(B) - Ep(A) = - G M m ( r 1 B Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan)

- r

1

A

)

r

A

= jarak titik A ke pusat bumi. r

B

= jarak titik B pusat bumi. oleh karena usaha merupakan perubahan energi potensial maka usaha yang dilakukan sepanjang garis dari A ke B dapat dinyatakan dengan :

W

A----> B

= - G M m (

r 1 B - r 1

A

)

W

A----> B

= Usaha dari A ke B.

4

POTENSIAL GRAVITASI

Potensial gravitasi didefinisikan sebagai : Tenaga potensial gravitasi per satuan massa. Dapat dinyatakan dengan persamaan :

V =

Ep m V = potensial gravitasi, satuan : Joule/kg. Ep = Energi potensial gravitasi, satuan : Joule m = massa benda, satuan : kg. POTENSIAL GRAVITASI OLEH BENDA BERMASSA Energi potensial gravitasi benda bermassa m’ yang terletak pada jarak r dari pusat massa benda bermassa m dapat kita nyatakan dengan persamaan :

Ep = - G

m r

m '

Bila massa m’ terletak dititik p maka potensial gravitasi di titik p yang dialami oleh massa m’ dapat ditentukan sebagai berikut :

V

= Ep

r

=

-

G

m r

m '

m '

V = -

G

m r V = potensial gravitasi pada jarak r dari massa m m = massa benda r = jarak tempat yang mengalami potensial gravitasi ke benda. Potensial gravitasi merupakan besaran skalar, karena itu potensial yang disebabkan oleh berapa benda bermassa merupakan jumlah aljabar dari potensial gravitasi masing-masing benda bermassa itu, Jadi :

V

t

= V

1

+ V

2

+ V

3

+ ...... + V

n Beda potensial antara dua titik dalam medan gravitasi didefinisikan sebagai : Potensial di titik yang satu dikurangi dengan potensial di titik yang lain. Usaha yang dilakukan untuk mengangkut, massa m dari satu titik ke titik lain lewat sembarang lintasan sama dengan massa benda itu kali beda potensial antara kedua titik itu.

W

A----> B

= m (V

B

- V

A

) W

A----> B

= Usaha dari A ke B.

LATIHAN SOAL. 1. Tentukanlah energi potensial gravitasi yang dialami oleh massa sebesar 2 kg yang terletak dipermukaan bumi. Massa bumi kira-kira 6 x 1024 kg. Jari-jari bumi kira-kira 6,38 x 106 m dan konstanta gravitasi 6,67 x ( jawab 10-11 Nm2/kg2.

: -1,25 x 108 joule ) 2. Tentukan energi potansial gravitasi yang dialami oleh massa sebesar 2 kg yang terletak pada jarak 5 m dari

suatu benda yang bermassa 30 kg. ( jawab : 8 x 10-10 ) 3. Suatu benda yang massanya 10 kg berada pada suatu tempat yang memiliki energi potensial gravitasi yang

besarnya sama dengan 5 x 108 J. Tentukanlah potensial gravitasi yang dialami oleh benda itu. ( jawab : -5 x 107 joule/kg ) 4. Tentukanlah potensial gravitasi pada suatu titik yang terletak 2 m dari benda bermassa 25 kg.

( jawab : -8,3 x 10-10 J/kg ) 5. Pada gambar di bawah ini, massa m

1

= 0,3 kg dan massa m

2

= 0,1 kg.

Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan)

A

5

a. Tentukanlah potensial gravitasi yang disebabkan oleh massa m

1

dan m

2

dititik O dan dititik A. b. Berapakah usaha yang dilakukan untuk mengangkut massa m = 0,01 kg dari titik A ke titik O.

( jawab : a . -5 G J/kg dan -7 G J/kg ; b. 0,02 G joule ) 6. Dua massa masing-masing 0,2 kg dan 0,8 kg terpisah sejauh 0,12 m. a. Tentukan potensial gravitasi pada titik 0,04 m dari massa 0,2 kg dan 0,08 m dari massa 0,8 kg.

( jawab : -15 G J/kg ) b. Berapa usaha yang diperlukan untuk memindahkan massa sebesar 1 kg dari titik jauh tak hingga kesuatu titik

yang terletak 0,08 m dari massa 0,8 kg.

( jawab : 15 G J )

HUKUM KEKEKALAN ENERGI

Untuk gerakan benda dalam medan gravitasi yang tidak sama kekuatan di semua titik, hendaknya dipecahkan dengan perhitungan potensial gravitasi atau tenaga potensial gravitasi. Jika gaya-gaya gesekan diabaikan, dasar persangkutannya hanyalah kekekalan energi, yaitu :

Ek + Ep = konstan. Ek

(1)

+ Ep

(1)

= Ek

(2)

+ Ep

(2) Disini pembicaraan akan kita batasi hanya mengenai gerakan massa m dalam medan gravitasi yang ditimbulkan oleh titik tunggal yang tetap atau bola homogen bermassa m. Sehingga :

Ek = 1 2

M m r Akhirnya kita dapatkan bahwa :

1 2

Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan) mv2 dan Ep = m V = - G

m(v

1

)2 - G

M r 1

M m

r

2

(v

2

m

= 1 2

m(v

2

)2 - G

1 - 1

)

2 1

LATIHAN SOAL. 1. Massa bulan kira-kira 6,7 x 1022 kg dan radiusnya 1,5 x 106 m. Hitunglah dengan kecepatan berapa suatu benda harus ditembakkan dari permukaan bulan hingga mencapai jarak yang sama dengan radius bulan. ( jawab : 1,7 x 103 m/s ) 2. Berapakah kecepatan penembakkan keatas sebuah benda dari permukaan bumi agar benda itu dapat mencapai tinggi 640 km. Percepatan gravitasi di anggap konstan dan besarnya sama dengan 10 m/s2. Jari- jari bumi 6.400 km. ( jawab : 3,4 x 103 m/s ) 3. Sebuah titik bermassa dilepaskan dari jarak 3R dari pusat bola rongga berdinding tipis dari keadaan berhenti. Bola itu radiusnya R, massanya M dan letaknya tetap. Gaya yang bekerja pada titik bermassa tersebut hanyalah gaya gravitasi yang ditimbulkan oleh bola rongga tadi. Pada bola itu ada lubangnya kecil yang dapat dilalui titik bermassa waktu jatuh. a. Berapakah kecepatannya ketika tepat sampai pada lubang itu ? b. Berapakah kecepatannya ketika lewat titik pusat bola.

( jawab : a.

)2 = (v

1

)2 + 2G M (

r r

4

GM

GM 3

R

2

3

R

)

4. Berapakah kecepatannya yang diperoleh sebuah benda yang jatuh dari ketinggian h menuju ke permukaan bumi ? Abaikan gesekan. Nyatakan jawabnya dengan percepatan g dipermukaan Bumi dan radius bumi R. Dalam hal ini h dianggap demikian besar, hingga perubahan percepatan gravitasi harus diperhitungkan.

( jawab :

b.

2 gRh

. . R +

h

)

5. Tentukan dengan kecepatan berapa suatu benda harus ditembakkan dari permukaan bumi sehingga

mencapai ketinggian sama dengan 2 kali jari=jari bumi.

4

GM ( jawab :

3

R

)

FF

6

KELAJUAN LEPAS Sebuah benda yang dilemparkan lurus ke atas dari permukaan bumi hanya dapat naik sampai jarak tertentu pada waktu energi Kinetik benda sama dengan nol, kemudian akan kembali lagi ke permukaan bumi. Jika suatu benda dilemparkan dari permukaan bumi dengan energi kinetik yang besarnya sama dengan energi potensial dipermukaan bumi, maka energi totalnya sama dengan nol. Ini berarti benda bergerak ke jauh tak terhingga atau lepas dari bumi. Kelajuan awal agar ini terjadi disebut kelajuan lepas, dan dapat ditentukan dengan persamaan :

1 2

mv2 = G

M m R v = 2 Rg v = kelajuan lepas R = jari-jari bumi g = percepatan gravitasi bumi.

GERAKAN PLANET Menurut Keppler ( hukum Keppler ), perbandingan antara T2 dari gerakan planet yang mengelilingi matahari terhadap r3 adalah konstan.

T

2 r

3

Source(Modul Fisika SMAN 4 Smg): http://fisikavisiku.wordpress.com (Catatan Fisika Achmad Solechan)

=

c

T = periode r = jari-jari lintasan

( T

1

)2 : ( T

2

)2 = ( r

1

)3 : ( r

2

)3 Dan dari gerak melingkar beraturan dapat kita peroleh :

v =

2π r T Karena planet bergerak pada lintasan yang tetap maka terdapat gaya centripetal yang mempertahankan planet tetap pada lintasannya.

Gaya sentripetal dalam hal ini adalah gaya gravitasi yang dialami oleh planet yang disebabkan oleh matahari. Bila massa planet m dan massa planet m dan massa matahari M maka gaya gravitasi antara planet dan matahari pada jarak r, adalah :

Gaya ini merupakan gaya centripetal. Bila selama mengitari matahari planet bergerak dengan laju tetap sebesar v, maka dapat dinyatakan bahwa :

G

M r

2

m

=

v r 2

G

m

M r

= v 2

v =

G

M r Jika planet bergerak dengan kelajuan sudut ω maka dapat dinyatakan suatu persamaan dalam bentuk :

ω 2

= G

M r 3 ω = kelajuan sudut M = massa matahari r = jari-jari lintasan

M F =

G

r

2

m

Perpindahan

Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan jarak itu!

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa memperhatikan arah gerakan benda.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :

Vektor posisi awal titik N : r

N1

= 1 i + 1 j r

N2

= 4 i + 5 j

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 5

Vektor perpindahan titik N : Δ r

N

= r

N2

– r

N1 Δ r

N

= (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j) Δ r

N

= 3 i + 4 j Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3 Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4 Besar vektor perpindahan titik N adalah :

Δ r

N

= 43 2 + 2 = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan θ =

y x

tan θ =

4 3 maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j. Contoh : 1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4)

m. Tentukan : a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar perpindahannya e. arah perpindahannya

Jawab : a. Δr

R

= (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b. r

Rx

= 4 m c. r

Ry

= 3 m d. r = 34 2 + 2 = 5 m

e. tan θ =

r

Ry r

Rx

=

3 4

maka θ = 37°

2. Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan :

a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s) b. Vektor posisi saat t = 2 s c. Vektor posisi saat t = 4 s d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s e. Besar vektor perpindahannya

Jawab : a. r

(t = 0s)

= 0 i + 0 j b. r

(t =2s)

= 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j c. r

(t=4s)

= 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j e. Δr = 412 2 + 2 = 4 10 m

Tugas Kelompok

Buatlah kelompok minimal terdiri atas 3 orang, maksimal 5 orang. kemudian diskusikan

tentang berbagai perpindahan yang telah kamu lakukan pada hari ini! Apakah dapat

dikatakan bahwa kamu telah melakukan perpindahan, jika kamu dari kelas pergi ke

belakang, dan kemudian kembali lagi ke kelas?

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 6

Uji Kompetensi

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar! 1. Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini:

a. H (1,4) c. Y (5,45°) b. A (-3,4) d. D (3, 60°) 2. Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius:

a. W (2, 37°) c. T (3, 30°) b. A (6, 53°) d. I (4, 45°) 3. Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar:

a. K (3,4) d. T (1,2) b. E (-6,-8) e. I (5,-5) c. N (8,10) f. K (-4,5) 4. Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor

perpindahannya! 5. Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan:

a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar vektor perpindahannya e. arah perpindahannya 6. Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

a. vektor posisi awal b. vektor posisi saat t = 1 s c. vektor posisi saat t = 2 s d. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s e. komponen vektor perpindahan pada sumbu x f. vektor perpindahan pada sumbu y g. besar vektor perpindahan 7. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor

perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s! 8. Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan arah

perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!

3. Kecepatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan. Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.

a. Kecepatan rata-rata

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:

v =

Δt Δr

=

rr

2

− tt

2

− 1 1 Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik, maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan. Contoh: Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8) m. Tentukan : a. vektor kecepatan rata-ratanya b. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x c. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y d. besar vektor kecepatan rata-rata e. arah kecepatan rata-ratanya

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 7

Jawab : a. r

D1

= 4 s – 1 s = 3 s

v =

Δr Δt

=

86 ji+ 3

= ( 2 i + 4/3 j ) m/s

b.

v x

= 2 m/s

c.

v y

= 4/3 m/s

d. v =

2 2

+   

4

2

3

  

= 2,4 m/s

e. tan θ =

v

= x

( 3/4 2

)

= 0,666 maka θ = 33,7°

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :

v = 0t

v

y v

lim →∆

lim

∆

x 0t

∆ →∆ Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut! Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas, kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan θ =

3

=

t

3

= 1 m/s

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak berpindah.

Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik, kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.

Contoh: 1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m. Tentukan : a. vektor kecepatan sesaat b. komponen sumbu x vektor kecepatan c. komponen sumbu y vektor kecepatan d. vektor kecepatan saat t = 2 s e. besar kecepatan saat t = 2 s

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 8

= 2 i + 0 j r

D2

= 8 i + 8 j Δr = r

D2

– r

D1

= 6 i + 8 j dan Δ t = t

2

Gambar 4: Grafik x – t yang menjelaskan hubungan antara perpindahan terhadap waktu, yang digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat

Gambar 5: Menganalisis kecepatan sesaat dari kemiringan suatu grafik x - t

– t

1

Jawab :

a. v =

dr dt v = ( 4 t i + 5 j) m/s b. v

x

= 4 t m/s c. v

y

= 5 m d. Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

v = ( 8 i + 5 j) m/s e. v = 58 2 + 2 = 89 m/s

Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. Jadi dengan melakukan integral dari suatu vektor kecepatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi dari suatu titik.

2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor : v

A

= ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s ! Jawab : r = r

o

+ ∫

v a

dt r = (2i + 3 j) + ∫ (8t i − )2t 2 j dt

r = (2i + 3 j) + (4 t2 i -

2 3

t3 j)

Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i -

2 3

(2)3 j)

r = ( 18 i -

7 3

j ) m/s

Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah grafik kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva. Jika kurva berada di atas sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif, namun jika di bawah sumbu x atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai negatif.

3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 12) m/s.Tentukan perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 3 s! Jawab : Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 – 12) m/s dalam sebuah grafik.

Perpindahan = luas bawah + luas atas

3 Perpindahan = ∫ −

0

123t 2 dt

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 9

Gambar : Menginterpretasikan sebuah persamaan kecepatan dalam sebuah grafik, dapat dilakukan dengan membuat tabel antara t dan v, kemudian menyusunnya dalam sebuah gambar grafik.

[ Perpindahan =

t 3 −

12t ]

3 0 Perpindahan = [33 – 12.3] – [03 – 12.0] Perpindahan = - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan

dengan arah kecepatan

Jarak = - luas bawah + luas atas

2 Jarak = - ∫ −

0

3 123t 2 dt + ∫ 123t 2 −

dt

Jarak = -

[ t 3 − 12t ]

2 0

+

[ t 3 2

−

12t ]

3 2 Jarak = - {[23 – 12.2] – [03 – 12.0]} + {[33 – 12.3] – [23 – 12.2]} Jarak = - {[8 – 24] – [0 – 0]} + {[27 – 36] – [8 – 24]} Jarak = - { - 16 } + {7 } Jarak = 23 m

Contoh 8 : Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Tentukan : a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s. b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s. Jawab : a. Jarak = Luas segitiga = L I

Jarak = ½ . alas . tinggi Jarak = ½ . 2 . 4 = 4 m b. Jarak = L I + L II + L III

Jarak = ( ½ . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( ½ . 2 . 4 ) Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m

Tugas Kelompok Gambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi meja masing- masing temanmu! Selanjutnya, tentukanlah jarak dan perpindahan meja teman-temanmu dalam satu kelas terhadap meja guru! Kumpulkan denah ruang kelasmu pada guru untuk dinilai. Denah yang terbaik, layak untuk dipasang di dinding.

Posisi, Kecepatan dan Percepatan Partikel pada Gerak Lurus

Amatilah gerakan mobil balap yang sedang berjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan bergerak? Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat semula? Bagaimana kedudukan mobil terhadap sopirnya? Bagaimana kedudukan sebuah mobil terhadap mobil lain yang berada di sekitarnya? Semua permasalahan tersebut menuntut adanya penjelasan tentang gerak mobil.

Kinematika, sebagai cabang dari fisika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. Pada kajian ini hanya dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap suatu titik acuan, yang sering disebut dengan perpindahan. Juga pada kajian ini dibahas segala permasalahan gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.

1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

Pada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, kecepatan dan percepatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel yang bergerak dua dimensi pada suatu bidang. Oleh karena gerak benda dipandang dalam dua dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu x) dan vektor satuan j (sumbu y). Untuk memahami berbagai hal seperti tersebut di atas, dapat diilustrasikan seperti berikut ini. Suatu ketika ada seorang pelaut sedang berlayar di tengah laut yang luas. Jika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka langkah pertama yang dia lakukan adalah menganalisis kedudukan awal dan kedudukan akhirnya. Lebih jelasnya adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu berada di kota B. Untuk mencapai kota A, ia harus berlayar 40 km ke utara, dan dilanjutkan 30 km ke timur, maka posisi atau kedudukan dari kota A, telah terdefinisikan dengan jelas terhadap kota B sebagai titik acuan. Tanpa kerangka acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian perpindahan akan sulit dipahami.

Saat pilot pesawat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara. Pilot akan menginformasikan kedudukan pesawat tersebut terhadap bandara dan kecepatan pesawat serta berbagai hal yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya informasi dari pilot tersebut, petugas menara akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesawat. Dengan demikian, informasi tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti pada keadaan ilustrasi tersebut, sangat diperlukan.

Gambar 1: Pesawat yang akan mendarat selalu melaporkan posisinya kepada petugas menara agar dapat dipandu pendaratannya. Posisi pesawat dikontrol pilot melalui sistem navigasi dalam pesawat

Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3).

Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan B dapat digambarkan sebagai berikut :

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 3

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar adalah :

x = r . cos θ y = r . sin θ

r = yx 2 + 2 tan θ =

y x Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat polar adalah seperti berikut ini.

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar

nilai x dan y adalah :

x = r . cos θ y = r . sin θ x = 10 . cos 37° y = 10 . sin 37° x = 10 . 0,8 y = 10 . 0,6 x = 8 satuan y = 6 satuan

Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :

r = x i + y j di mana besar vektor satuan i = 1

dan besar vektor satuan j = 1

Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi adalah r. Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim digunakan secara umum. Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati, maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.

Contoh : 1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan

koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 4

Gambar 3: Grafik polar yang menunjukkan kedudukan (10, 37°)

Gambar 2 : Grafik kartesius yang menggambarkan koordinat A (2,4) dan B (-2,3)

F

Jawab :

r = 63 2 + 2 = 3 5 dan tan θ =

6 3

maka θ = 63,4°

Jadi koordinat polarnya (3 5 ; 63,4°) 2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan koordinat

tersebut dalam koordinat kartesius !

Jawab : x = r . cos θ y = r . sin θ x = 4 . cos 45° y = 4 . sin 45°

x = 4 .

1 2

2

y = 4 .

1 2

2

x = 2 2 y = 2 2 3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,4).

Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab : r

A

= 2 i + 4 j 4. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab : x = 4 . cos θ y = r . sin θ x = 4 . cos 30° y = 4 . sin 30°

x = 4 . 1 2

3

y = 4 .

1 2 x = 2 3 y = 2

jadi vektor posisinya adalah r

H

= 2 3 i + 2 j