Perpindahan

Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan jarak itu!

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa memperhatikan arah gerakan benda.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :

Vektor posisi awal titik N : r

N1

= 1 i + 1 j r

N2

= 4 i + 5 j

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 5

Vektor perpindahan titik N : Δ r

N

= r

N2

– r

N1 Δ r

N

= (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j) Δ r

N

= 3 i + 4 j Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3 Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4 Besar vektor perpindahan titik N adalah :

Δ r

N

= 43 2 + 2 = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan θ =

y x

tan θ =

4 3 maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j. Contoh : 1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4)

m. Tentukan : a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar perpindahannya e. arah perpindahannya

Jawab : a. Δr

R

= (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b. r

Rx

= 4 m c. r

Ry

= 3 m d. r = 34 2 + 2 = 5 m

e. tan θ =

r

Ry r

Rx

=

3 4

maka θ = 37°

2. Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan :

a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s) b. Vektor posisi saat t = 2 s c. Vektor posisi saat t = 4 s d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s e. Besar vektor perpindahannya

Jawab : a. r

(t = 0s)

= 0 i + 0 j b. r

(t =2s)

= 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j c. r

(t=4s)

= 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j e. Δr = 412 2 + 2 = 4 10 m

Tugas Kelompok

Buatlah kelompok minimal terdiri atas 3 orang, maksimal 5 orang. kemudian diskusikan

tentang berbagai perpindahan yang telah kamu lakukan pada hari ini! Apakah dapat

dikatakan bahwa kamu telah melakukan perpindahan, jika kamu dari kelas pergi ke

belakang, dan kemudian kembali lagi ke kelas?

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 6

Uji Kompetensi

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar! 1. Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini:

a. H (1,4) c. Y (5,45°) b. A (-3,4) d. D (3, 60°) 2. Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius:

a. W (2, 37°) c. T (3, 30°) b. A (6, 53°) d. I (4, 45°) 3. Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar:

a. K (3,4) d. T (1,2) b. E (-6,-8) e. I (5,-5) c. N (8,10) f. K (-4,5) 4. Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor

perpindahannya! 5. Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan:

a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar vektor perpindahannya e. arah perpindahannya 6. Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

a. vektor posisi awal b. vektor posisi saat t = 1 s c. vektor posisi saat t = 2 s d. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s e. komponen vektor perpindahan pada sumbu x f. vektor perpindahan pada sumbu y g. besar vektor perpindahan 7. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor

perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s! 8. Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan arah

perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!

3. Kecepatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan. Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.

a. Kecepatan rata-rata

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:

v =

Δt Δr

=

rr

2

− tt

2

− 1 1 Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik, maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan. Contoh: Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8) m. Tentukan : a. vektor kecepatan rata-ratanya b. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x c. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y d. besar vektor kecepatan rata-rata e. arah kecepatan rata-ratanya

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 7

Jawab : a. r

D1

= 4 s – 1 s = 3 s

v =

Δr Δt

=

86 ji+ 3

= ( 2 i + 4/3 j ) m/s

b.

v x

= 2 m/s

c.

v y

= 4/3 m/s

d. v =

2 2

+   

4

2

3

  

= 2,4 m/s

e. tan θ =

v

= x

( 3/4 2

)

= 0,666 maka θ = 33,7°

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :

v = 0t

v

y v

lim →∆

lim

∆

x 0t

∆ →∆ Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut! Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas, kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan θ =

3

=

t

3

= 1 m/s

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak berpindah.

Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik, kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.

Contoh: 1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m. Tentukan : a. vektor kecepatan sesaat b. komponen sumbu x vektor kecepatan c. komponen sumbu y vektor kecepatan d. vektor kecepatan saat t = 2 s e. besar kecepatan saat t = 2 s

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 8

= 2 i + 0 j r

D2

= 8 i + 8 j Δr = r

D2

– r

D1

= 6 i + 8 j dan Δ t = t

2

Gambar 4: Grafik x – t yang menjelaskan hubungan antara perpindahan terhadap waktu, yang digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat

Gambar 5: Menganalisis kecepatan sesaat dari kemiringan suatu grafik x - t

– t

1

Jawab :

a. v =

dr dt v = ( 4 t i + 5 j) m/s b. v

x

= 4 t m/s c. v

y

= 5 m d. Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

v = ( 8 i + 5 j) m/s e. v = 58 2 + 2 = 89 m/s

Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. Jadi dengan melakukan integral dari suatu vektor kecepatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi dari suatu titik.

2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor : v

A

= ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s ! Jawab : r = r

o

+ ∫

v a

dt r = (2i + 3 j) + ∫ (8t i − )2t 2 j dt

r = (2i + 3 j) + (4 t2 i -

2 3

t3 j)

Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i -

2 3

(2)3 j)

r = ( 18 i -

7 3

j ) m/s

Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah grafik kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva. Jika kurva berada di atas sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif, namun jika di bawah sumbu x atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai negatif.

3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 12) m/s.Tentukan perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 3 s! Jawab : Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 – 12) m/s dalam sebuah grafik.

Perpindahan = luas bawah + luas atas

3 Perpindahan = ∫ −

0

123t 2 dt

http://fisikavisiku.wordpress.com/ 9

Gambar : Menginterpretasikan sebuah persamaan kecepatan dalam sebuah grafik, dapat dilakukan dengan membuat tabel antara t dan v, kemudian menyusunnya dalam sebuah gambar grafik.

[ Perpindahan =

t 3 −

12t ]

3 0 Perpindahan = [33 – 12.3] – [03 – 12.0] Perpindahan = - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan

dengan arah kecepatan

Jarak = - luas bawah + luas atas

2 Jarak = - ∫ −

0

3 123t 2 dt + ∫ 123t 2 −

dt

Jarak = -

[ t 3 − 12t ]

2 0

+

[ t 3 2

−

12t ]

3 2 Jarak = - {[23 – 12.2] – [03 – 12.0]} + {[33 – 12.3] – [23 – 12.2]} Jarak = - {[8 – 24] – [0 – 0]} + {[27 – 36] – [8 – 24]} Jarak = - { - 16 } + {7 } Jarak = 23 m

Contoh 8 : Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Tentukan : a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s. b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s. Jawab : a. Jarak = Luas segitiga = L I

Jarak = ½ . alas . tinggi Jarak = ½ . 2 . 4 = 4 m b. Jarak = L I + L II + L III

Jarak = ( ½ . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( ½ . 2 . 4 ) Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m

Tugas Kelompok Gambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi meja masing- masing temanmu! Selanjutnya, tentukanlah jarak dan perpindahan meja teman-temanmu dalam satu kelas terhadap meja guru! Kumpulkan denah ruang kelasmu pada guru untuk dinilai. Denah yang terbaik, layak untuk dipasang di dinding.